วงรี (Ellipse) คณิตศาสตร์ ม.4

มาถึงตอนที่สี่ของซีรียส์เรียนคณิตศาสตร์กับนายติวฟรีในบทเรียนภาคตัดกรวย ของ คณิตศาสตร์ ม.4 มาถึงตอนที่ตอนนี้เป็นเรื่องของสมการวงรี (Ellipse) กันแล้วนะครับ สมการวงรีเป็นเรื่องที่อาจจะเข้าใจยากในตอนแรกแต่ถ้ารู้เรื่องแล้วถือ ว่าเรียนสนุกครับ ลองมาเรียนกันนะ

วงรีคือเส้นโค้งรูปไข่ที่เหมือนการดึงวงกลมให้ยืดออกตามเส้นผ่านศูนย์กลางเส้นใดเส้นหนึ่ง

นิยามสมการวงรี

วงรี (Ellipse) คือเซตของจุดทั้งหมดในระนาบซึ่งผลบวกของระยะทางจากจุดใดๆจุดหนึ่งในเซตไปยังจุดคงที่ 2 จุดมีค่าคงตัว

จากบทนิยามนี้ มีวิธีง่ายๆ ในการวาดรูปวงรี (ดูรูปที่ 2) วางกระดาษบนกระดานวาดรูปปักหมุด 2 ตัวที่จุดต่างกัน ใช้เป็นโฟกัสของวงรี ตัดเชือกเส้นหนึ่งยาวกว่าระยะทางระหว่างหมุดทั้งสอง ผูกปลายเชือกแต่ละข้างกับหมุด โดยใช้ดินสอรั้งเชื่อให้ตึงตลอดเวลา ขณะที่ค่อยๆ เคลื่อนดินสอรอบโฟกัส รอยดินสอที่เกิดขึ้นจะเป็นรูปวงรีเพราะผลบวกของระยะทางจากจุดปลายดินสอถึงโฟกัสทั้งสองเท่ากับความยาวของเชือกที่มีความยาวคงตัวเสมอ

ถ้าเชือกยาวกว่าระยะห่างระหว่างโฟกัสเพียงเล็กน้อย วงรีที่วาดได้จะมีรูปร่างเรียวยาว ดังเช่นในรูปที่ 3ก แต่ถ้าโฟกัสอยู่ใกล้กันเมื่อเปรียบเทียบกับความยาวของเชือก (เชือกยาวกว่าระยะห่างระหว่างโฟกัสมาก) วงรีที่วาดได้จะเกือบกลม ดังเช่นในรูปทางขวา ยิ่งถ้าจุดโฟกัสใกล้กันเท่าไหร่ ก็จะยิ่งกลมขึ้นๆ

ส่วนประกอบของวงรี

F, F’ เป็นจุดคงที่ เรียกว่าจุดโฟกัส (Focus)

V, V’ เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุดโฟกัส และมีจุดปลายทั้งสองเป็นจุดยอด เรียกว่า แกนนอก

B, B’ เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุดศูนย์กลางและตั้งฉากกับแกนเอก โดยมีจุดปลายทั้งสองอยู่บนวงรี เรียกว่า แกนโท

m₁m₂, m₁‘m₂‘ เป็นเส้นตรงที่ผ่านจุดโฟกัส และตั้งฉากกันแกนของรูป เรียกว่าเส้นลาตัสเรกตัม

วงรีที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (0,0)

วงรีที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดและแกนเอกอยู่บนพิกัด

สรุปสมการวงรี

ตัวอย่างโจทย์สมการวงรี

EX1: วงรีรูปหนึ่งมีสมการเป็น = 1

จงหาโฟกัส จุดยอด ความยาวของแกนเอกและแกนโท และเขียนวงรี

วิธีทำ จากสมการ = 1 เมื่อเทียบกับรูปแบบมาตรฐาน  = 1

จะได้ว่า a² = 16, b² = 4 นั่นคือ a = 4, b = 2

เนื่องจากพจน์ a² เป็นตัวส่วนของพจน์ x²

แกนเอกจึงอยู่บนแกน X ถ้าให้จุด (-c, 0) และ (c, 0) เมื่อ c > 0 เป็นโฟกัส

จะได้ว่า c² = a² – b² = 16 – 4 = 12 นั่นคือ c =

ดังนั้น สรุปได้ว่า

โฟกัสของวงรี คือ (-, 0) และ (, 0)

จุดยอด คือ (-4, 0) และ (4, 0)

แกนเอกมีความยาว 8 หน่วย

แกนโทมีความยาว 4 หน่วย

กราฟวงรีแสดงได้ดังรูปนี้

 #Answer

ตัวอย่างที่ 2 วงรีรูปหนึ่งมีจุดยอดอยู่ที่ (-4, 0), (4, 0) และโฟกัสอยู่ที่ (-3, 0), (3, 0) จงหาสมการและเขียนวงรี

วิธีทำ จากสิ่งที่กำหนดให้จะได้ว่า แกนเอกของวงรีอยู่บนแกน X และเมื่อเทียบกับ

รูปแบบมาตรฐานของสมการวงรี = 1 จะได้ว่า a = 4, c = 3

จาก c² = a² – b² จะได้ 3² = 4² – b²

b² = 4² – 3² = 16 – 9 = 7

ดังนั้น สมการของวงรี คือ

= 1

กราฟเป็นวงรีแสดงในรูปนี้

 #Answer

EX3: จงหาโฟกัสและเขียนวงรีที่มีสมการเป็น 25×2 + 9y2 = 225

วิธีทำ จากสมการวงรีที่กำหนดให้ เขียนในรูปแบบมาตรฐานได้ดังนี้ = 1

จากรูปแบบมาตรฐาน จะได้ว่าแกนเอกของวงรีอยู่บนแกน Y

และ a2 = 25, b2 = 9

นั่นคือ c2 = a2 – b2 = 25 – 9 = 16

ดังนั้น c = 4 และโฟกัสของวงรี คือ (0, -4) และ (0, 4)

กราฟของวงรีแสดงในรูปนี้

จะเห็นได้ว่า ถ้า 2a มากกว่า 2c เพียงเล็กน้อย วงรีมีรูปร่างเรียวยาว (วงรีมีความรีมาก) แต่ถ้า 2a มากกว่า 2c วงรีมีรูปร่างเกือบจะกลม (วงรีมีความรีน้อย) โดยทั่วไป จะใช้อัตราส่วนของ c ต่อ a วัดความรีของวงรี อัตราส่วนนี้เรียกว่า ความเยื้องศูนย์กลาง

ความเยื้องศูนย์กลางของวงรีมีค่าระหว่าง 0 และ 1 นั่นคือ 0 < e < 1 ถ้า e มีค่าใกล้ 1 หรือ c มีค่าเกือบจะเท่ากับ a แล้ววงรีมีความรีมาก (มีรูปร่างเรียวยาว) แต่ถ้า e มีค่าใกล้ 0 แล้ววงรีมีความรีน้อย (รูปร่างเกือบจะกลม) รูปที่ 10 แสดงวงรีที่มีความเยื้องศูนย์กลางต่างๆ กัน

#Answer

ข้ามไปยังเนื้อหา:

1. ภาคตัดกรวย (Conic Section)
2. วงกลม (Circle)
3. พาราโบลา (Parabola)
4. วงรี (Ellipse)
5. ไฮเพอร์โบลา (Hyperbola)

สำหรับ คนที่สนใจอยากเรียนคณิตศาสตร์เรื่องภาคตัดกรวย และบทอื่นๆ แต่ไม่อยากอ่านเอง อยากดูในรูปแบบคลิปวีดีโอมากกว่า พี่มีของดีมาแนะนำครับ คลิปวีดีโอสอนเรื่องความน่าจะเป็นครบทุกหัวข้อ และบทเรียนอื่นๆในระดับชั้นมัธยมอีกครบถ้วน สอนอย่างละเอียดตั้งแต่เริ่มต้น พร้อมด้วยโจทย์เรื่องภาคตัดกรวยเรียงจากง่ายไปยาก ลองอ่านข้อความด้านล่างนี้ดูนะครับ