ความสำคัญของ… นิยาม

นิยาม ในความหมายของคณิตศาสตร์คือ คำจำกัดความให้ทุกคนเข้าใจตรงกัน ซึ่งเป็นแก่นของคณิตศาสตร์ ที่ไม่ว่าเราจะเจอโจทย์ยากขนาดไหน พลิกแพลงขนาดไหน ก็ไม่สามารถจะดิ้นหลุดจากคำว่านิยามไปได้ เรียกได้ว่าโจทย์ทั้งหมดในจักรวาลนี้ สามารถใช้เพียงนิยาม ในการแก้ปัญหาได้ทั้งหมด (ถ้ามีคนตั้งนิยามมาแล้วนะ) แต่ในความเป็นจริงแล้วนักเรียนมากกว่า 90% กลับมองข้ามมันไป

     บทนิยาม (Defined Terms) มีความหมายอย่างเป็นทางการว่า คำหรือข้อความที่มีการให้ความหมายหรือคำจำกัดความไว้อย่างชัดเจน เพื่อทุกคนจะได้มีความเข้าใจที่ตรงกัน ส่วนมากนิยามในภาษาไทยนั้นจะแปลมาจากนิยามภาษาอังกฤษโดยตรง ซึ่งในทางด้านความหมายจะถูกต้อง 100% อยู่แล้ว แต่ในหลายๆนิยามที่ดูเหมือนง่าย อาจจะสร้างปัญหาให้กับเราได้ถ้าเรามองข้ามมันไป เราลองมาดูตัวอย่างกัน กับนิยมเรื่อง จำนวนคู่และจำนวนคี่ ในทางคณิตศาสตร์

บทนิยาม: จำนวนเต็ม a เป็นจำนวนคู่ ก็ต่อเมื่อ สามารถเขียน a=2k เมื่อ k เป็นจำนวนเต็ม จำนวนเต็ม a เป็นจำนวนคี่ ก็ต่อเมื่อ สามารถเขียน a=2k+1 เมื่อ k เป็นจำนวนเต็ม

หลายๆคน (รวมถึงพี่ติวฟรีเองด้วย) เมื่อได้อ่านนิยามนี้แล้ว ก็จะยิ้มอยู่ในใจว่า ง่ายนี่นา ไม่เห็นมีอะไรมากเลย ไม่ผิดหรอกครับ มันง่ายจริงๆ แถมทุกคนก็สามารถตอบคำถามได้หมดว่า 1 เป็นจำนวนคี่ และ 2 เป็นจำนวนคู่ ฯลฯ

แบบฝึกหัดมักจะง่าย แต่ในห้องสอบ เจอดีทุกทีสิน่า

เป็นกันทุกที เจอกันทุกคนครับ 555 ดั๊น ไปเจอกับของแปลก ที่สร้างความลำบากให้เราอย่างมาก แถมตอนที่เจอกันครั้งแรกเลยก็คือ ในห้องสอบ ตัวผมนั้นเคยเจอมาเองกับตัวตอนเรียนอยู่เหมือนกันครับ กับคำถามง่ายๆ ที่ตอบไม่ถูกเหมือนกัน เช่นคำถามนี้

ลองทำโจทย์ข้อนี้ดูสิ

คำถาม: 0 เป็นจำนวนคู่หรือจำนวนคี่       ก. จำนวนคู่       ข. จำนวนคี่       ค. ถูกทั้งสองข้อ       ง. ไม่มีข้อใดถูก

โห พี่ท่าน กะไม่ให้ได้ผุดได้เกิดกันเลยนะข้อนี้ แถมมีชอยส์ ค. ง. มาให้เลือกอีก จะเลือกข้อไหนดีล่ะเนี่ย โอ้ย

เมื่อเจอของแปลก เจอทางตัน ให้กลับไปดูที่นิยาม

นิยามสามารถแก้ปัญหาได้ครอบจักรวาล (ถ้ามีใครนิยามไว้แล้วนะครับ) เราจึงย้อนกลับไปดูนิยามของจำนวนคู่และจำนวนคี่ว่า มันคือ

บทนิยาม: จำนวนเต็ม a เป็นจำนวนคู่ ก็ต่อเมื่อ สามารถเขียน a=2k เมื่อ k เป็นจำนวนเต็ม จำนวนเต็ม a เป็นจำนวนคี่ ก็ต่อเมื่อ สามารถเขียน a=2k+1 เมื่อ k เป็นจำนวนเต็ม

อ้า เอาล่ะ เริ่มเข้าเค้าขึ้นมาหน่อย ค่อยๆใจเย็นๆดูเทียบกับนิยามไป เราลองจับ 0 ไปใส่แทน a ในนิยามดูนะครับ

ลองเริ่มจากนิยามของจำนวนคู่ดูก่อน

จำนวนเต็ม 0 เป็นจำนวนคู่ ก็ต่อเมื่อ สามารถเขียน 0 = 2k เมื่อ k เป็นจำนวนเต็ม

0 = 2k

0 = k

นั่นไง!!! ถ้าเราใส่ค่าจำนวนเต็มศูนย์ลงไปที่ k ปุ๊บก็จะได้สมการ 0 = 2 * 0 ซึ่งเป็นจริง

ต่อด้วยนิยามของจำนวนคี่

จำนวนเต็ม 0 เป็นจำนวนคี่ ก็ต่อเมื่อ สามารถเขียน 0 = 2k +1 เมื่อ k เป็นจำนวนเต็ม

0 = 2k + 1

-1 = 2k

k = -1/2

อ้าว k ไม่เป็นจำนวนเต็มนี่นา แสดงว่า 0 ไม่ใช่จำนวนเต็มคี่ และชอยส์ ค. และ ง. ก็ผิด

คำถามข้อนี้จึงตอบ ก. 0 เป็นจำนวนคู่

นี่แหล่ะ ความสำคัญของนิยาม

เห็นไหมครับว่า การใช้นิยามสำคัญจริงๆ เมื่อเราเจอของแปลก เจอทางตัน ที่ไม่รู้จะไปต่ออย่างไรดี จึงต้องย้อนกลับมาดูที่นิยาม ซึ่งก็สามารถแก้ปัญหาได้อย่างครอบจักรวาลจริงๆ เวลาเรียนคณิตศาสตร์ครั้งหน้า ลองให้ความสำคัญกับนิยามมากกว่านี้ดูนะครับ แล้วเราจะเรียนได้สนุกขึ้น และเข้าใจของแก่นคณิตศาสตร์มากขึ้น

ทิ้งท้ายด้วยโจทย์ข้อนี้นะครับ

คำถาม: 2.2 เป็นจำนวนคู่หรือจำนวนคี่       ก. จำนวนคู่       ข. จำนวนคี่       ค. ถูกทั้งสองข้อ       ง. ไม่มีข้อใดถูก

ลองทำดูนะครับ แล้วโพสต์คำตอบลงข้างล่างครับ