วงกลม (Circle) คณิตศาสตร์ ม.4

เป็นเนื้อหาต่อของเรื่องภาคตัดกรวยนะครับ ต่อจากตอนที่แล้วที่พี่ติวฟรีเขียนเรื่องภาคตัดกรวยเบื้องต้นไป วันนี้มาต่อกันด้วยเนื้อหาเรื่องสมการวงกลม จากเรื่องภาคตัดกรวย วิชา คณิตศาสตร์ ม.4 ครับ

สมการวงกลม

วงกลม คือเซตของจุดทุกจุดซึ่งห่างจากจุดคงที่จุดหนึ่งเป็นระยะทางคงตัว จุดคงที่ เรียกว่า จุดศูนย์กลาง ส่วนระยะคงที่เรียกว่า รัศมี

นิยามของสมการวงกลมคือ

วงกลม (circle) คือเซตของจุดทั้งหมดในระนาบที่ห่างจากจุดๆหนึ่งตรึงอยู่กับที่เป็นระยะทางคงตัว จุดที่ตรึงอยู่กับที่นี้เรียกว่า จุดศูนย์กลาง (center) ของวงกลม และระยะทางคงตัวดังกล่าวเรียกว่า รัศมี (radius) ของวงกลม

รูปที่ 1: สมการวงกลม

จุด C(h,k) เป็นจุดคงที่ เรียกว่า จุดศูนย์กลาง

|CP| = ระยะทางคงที่ เรียกว่ารัศมี

รูปแบบของสมการวงกลม

รูปที่ 2: รูปแบบของสมการวงกลม

ข้อสังเกตุ

1. ถ้า D² + E² – 4F = 0 กราฟที่ได้จะเป็นจุดวงกลม
2. ถ้า D² + E² – 4F > 0 กราฟที่ได้จึงเป็นวงกลม
3. ถ้า D² + E² – 4F < 0 จะไม่เกิดกราฟในระบบจำนวนจริง

ข้อสำคัญ

ในเรื่องวงกลม ถ้าต้องการหาสมการวงกลม จะต้องทราบ

1. จุดศูนย์กลาง
2. รัศมี

การหาจุดศูนย์กลางของวงกลม

การหาจุดศูนย์กลางของวงกลม จะหาได้ด้วยวิธีดังต่อไปนี้

1. โจทย์กำหนดมาให้โดยตรง เช่นให้จุดศูนย์กลางคือ C(h,k)
2. โจทย์กำหนดมาให้ทางอ้อม เช่นจุดที่เส้นตรงตัดกัน
3. โจทย์หำหนดมาให้ โดยมีความสัมพันธ์กับกราฟอื่นๆ

การหาความยาวรัศมี

การหาความยาวรัศมี จะหาได้ด้วยวิธีดังต่อไปนี้

1. โจทย์กำหนดมาให้โดยตรง (2¶r)
2. โจทย์กำหนดมาให้ทางอ้อม เช่นความยาวระหว่างจุดสองจุด หาได้จากสูตร
   
3. โจทย์กำหนดจุดศูนย์กลาง (h, k) และเส้นสัมผัส Ax + By + C = 0 เราจะหาทั้งเส้นผ่านศูนย์กลางและรัศมีได้จากสูตรต่อไปนี้

ความยาวของเส้นสัมผัส

ให้ |PQ| เป็นความยาวของเส้นสัมผัสที่ลากจากจุด P มาสัมผัสวงกลมที่จุด Q

1. ถ้าสมการวงกลมคือ x² + y² = r² แล้ว |PQ| =  ดังรูป

2. ถ้าสมการวงกลมคือ (x-h)² + (y-k)² = r² แล้ว |PQ| = ดังรูป

3. ถ้าสมการวงกลมคือ x² + y² + Dx + Ey + F = 0 แล้ว |PQ| =  ดังรูป

ตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1

จงเขียนกราฟของสมการ (x + 2)² + (y – 3)² = 16

วิธีทำ กราฟของสมการที่กำหนดให้เป็นวงกลม ในการเขียนกราฟ จะต้องทราบตำแหน่งของจุดศูนย์กลางและความยาวของรัศมีของวงกลม ซึ่งหาได้โดยการเทียบสมการที่กำหนดให้กับรูปแบบมาตรฐานของสมการวงกลม จะพบว่า h = -2, k = 3 และ r – 4 ดังนั้น วงกลมมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (-2, 3) และรัศมียาว 4 หน่วย การเขียนวงกลมขั้นแรก ลงจุดศูนย์กลางที่จุด (-2, 3) และเนื่องจากรัศมีของวงกลมยาว 4 หน่วย ลงจุดอีก 4 จุดห่างไปจากจุดศูนย์กลางไปทางด้านซ้าย ทางด้านขวา ทางด้านล่าง และทางด้านบน 4 หน่วย แล้ววาดวงกลมผ่านจุด 4 จุดนี้จะได้วงกลมดังแสดงในรูป

#Answer

ตัวอย่างที่ 2

จงเขียนรูปแบบมาตรฐานของสมการวงกลมที่มีรัศมียาว 3 หน่วย และจุดศูนย์กลาง อยู่ที่ (2, -1)

วิธีทำ จากรูปแบบมาตรฐานของวงกลม (x – h)² + (y – k)² = r2

แทน r, h และ k ด้วย 3, 2 และ -1 ตามลำดับ

(x – 2)² + (y – (-1))² = 32

(x – 2)² + (y + 1)² = 9

รูปแบบมาตรฐานของสมการวงกลมที่มีรัศมียาว r หน่วย และจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด (0, 0) คือ x² + y² = r²

วงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดและรัศมียาว 1 หน่วย เรียกว่า วงกลมหนึ่งหน่วย (unit circle) และมีสมการเป็น x² + y² = 1 ดังแสดงในรูป

จากสมการของวงกลมในตัวอย่างที่ 2

(x – 2)² + (y + 1)² = 9

เมื่อหาผลการยกกำลังสองของ x – 2 และ y + 1 จะได้

x² – 4x + 4 + y² + 2y + 1 = 9         หรือ           x² + y² – 4x + 2y – 4 = 0

ซึ่งเป็นกรณีหนึ่งของสมการ x² + y² + ax + by + c = 0 เมื่อ a, b และ c เป็นค่าคงตัว สามารถพิสูจน์ได้ว่าสมการในรูปแบบ x² + y² + ax + by + c = 0 มีกราฟเป็นวงกลม หรือจุดหนึ่งจุด หรือไม่มีกราฟ

ตัวอย่างเช่น กราฟของสมการ x² + y² = 0 คือจุดหนึ่งจุดคือ จุด (0, 0) สมการ x² + y² + 5 = 0 หรือ x² + y² = -5 ไม่มีกราฟ เพราะว่าผลบวกของกำลังสองของจำนวนจริงเป็นจำนวนลบไม่ได้ ในกรณีที่สมการ x² + y² + ax + by + c = 0 มีกราฟเป็นวงกลม เรียกสมการนี้ว่า รูปแบบทั่วไปของสมการวงกลม

ถ้าสมการของวงกลมอยู่ในรูปแบบทั่วไป สามารถเขียนสมการใหม่ให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานได้โดยใช้วิธีการทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์

 #Answer

ตัวอย่างที่ 3

จงแสดงว่า สมการ x² + y² + 2x – 6y + 6 = 0 เป็นสมการของวงกลม แล้วหาจุดศูนย์กลางและความยาวของรัศมีของวงกลม พร้อมทั้งเขียนกราฟ

วิธีทำ ขั้นแรก เขียนสมการที่กำหนดให้ในรูปแบบมาตรฐานของสมการวงกลม โดยจัดกลุ่มของพจน์ที่มี ตัวแปร x และตัวแปร y แล้วทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ กล่าวคือ ทำให้ x² + 2x เป็นกำลังสองสมบูรณ์โดยการบวกด้วย ( • 2)2 = 1 และทำให้

y² – 6y เป็นกำลังสองสมบูรณ์โดยการบวกด้วย ((-6))² = 9

(x² + 2x) + (y² – 6y) = -6

(x² + 2x + 1) + (y² – 6y + 9) = -6 + 1 + 9

(x + 1)² + (y – 3)² = 4

เปรียบเทียบสมการนี้กับรูปแบบมาตรฐานของสมการวงกลมจะได้ว่า h = -1, k = 3 และ r = 2 ดังนั้น สมการที่กำหนดให้เป็นสมการของวงกลมที่มี (-1, 3) เป็นจุดศูนย์กลาง และรัศมียาว 2 หน่วย กราฟเป็นวงกลมแสดงในรูป

 #Answer

ตัวอย่างที่ 4

จงหาสมการเส้นสัมผัสวงกลม x² + y² = 13 ที่จุด (2, 3)

วิธีทำ

ความชันของรัศมีที่ผ่านจุด (2, 3) คือ

เส้นสัมผัสของวงกลมที่ผ่านจุด (2, 3) เป็นเส้นตรงที่ตั้งฉากกับรัศมีของวงกลมเส้นที่มีความชัน

ดังนั้น ความชันของเส้นสัมผัสคือ

และสมการเส้นตรงที่สัมผัสวงกลมที่จุด (2, 3) คือ

 #Answer

ข้ามไปยังเนื้อหา:

1. ภาคตัดกรวย (Conic Section)
2. วงกลม (Circle)
3. พาราโบลา (Parabola)
4. วงรี (Ellipse)
5. ไฮเพอร์โบลา (Hyperbola)

สำหรับ คนที่สนใจอยากเรียนคณิตศาสตร์เรื่องภาคตัดกรวย และบทอื่นๆ แต่ไม่อยากอ่านเอง อยากดูในรูปแบบคลิปวีดีโอมากกว่า พี่มีของดีมาแนะนำครับ คลิปวีดีโอสอนเรื่องความน่าจะเป็นครบทุกหัวข้อ และบทเรียนอื่นๆในระดับชั้นมัธยมอีกครบถ้วน สอนอย่างละเอียดตั้งแต่เริ่มต้น พร้อมด้วยโจทย์เรื่องภาคตัดกรวยเรียงจากง่ายไปยาก ลองอ่านข้อความด้านล่างนี้ดูนะครับ