ไฮเพอร์โบลา (Hyperbola) ม.4

ต่อกันด้วยหัวข้อสุดท้ายจากเนื้อหาบทภาคตัดกรวย คณิตศาสตร์ ม.4 นะครับ กับสมการไฮเพอร์โบลา ที่รูปร่างหน้าตาจะคล้ายๆกับสมการพาราโบลาที่กำลังส่องกระจกอยู่ เจ้าไฮเพอร์โบลาจะมีสูตรสมการที่ซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย แต่จะมีสูตรในการจำและแยกแยะซึ่งถ้าดูเป็นแล้ว แยกง่ายมาก แค่เครื่องหมาย ± เองครับ

หลายคนอาจจะยังไม่รู้จักว่าไฮเพอร์โบลาคืออะไร เรามาลองทำความรู้จักกันมันดูกันนะครับ สมการไฮเพอร์โบลาในปัจจุบันได้ถูกตั้งชื่อโดยนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกที่ชื่อว่า Apollonius ต่อมานักคณิตศาสตร์ชื่อ Pappus ได้ค้นพบจุดที่เรียกว่าจุดโฟกัส (Focus) และเส้นไดเรกตริกซ์ (Directrix) โดยสมการไฮเพอร์โบลานี้มีรูปร่างมาจากวงโคจรของดาวบริวารรอบดวงอาทิตย์

นิยามของสมการไฮเพอร์โบลา

ไฮเพอร์โบลา (Hyperbola) คือเซตของจุดทั้งหมดในระนาบซึ่งผลต่างของระยะทางจากจุดใดๆไปยังจุด F1 และ F2 ที่ตรึงอยู่กับที่มีค่าคงตัว โดยค่าคงตัวน้อยกว่าระยะห่างระหว่างจุดคงที่ที่ตรึงอยู่กับที่ทั้งสอง จุด F1 และ F2 ดังกล่าวนี้เรียกว่า โฟกัส (Focus) ของไฮเพอร์โบลา

ให้ระยะทางจากจุด F1 และ F2 ไปยังเส้นกราฟมีค่าเท่ากับ r1=F1 และ r2=F2 และระยะทางระหว่างจุด F และจุด F2 มีค่าเท่ากับ 2c หรือเรียกอีกอย่างว่าค่า k ซึ่งค่า k นี้จะมีค่าเป็นบวกเสมอ

r2-r1 = k

ถ้าจุด P ซึ่งอยู่บนเส้นกราฟด้านซ้ายมืออยู่บนแกน x แล้ว

k = (c+a) – (c-a) = 2a

ดังนั้นเราสามารถคำนวณค่า k=2a ได้ หรือนั่นก็คือระยะทางระหว่างจุดยอดของกราฟไฮเพอร์โบลาทั้งสอง ข้อสังเกตุคือเส้นกราฟพาราโบลาที่เกิดจาดจุดโฟกัส F1 จะมีเส้นกราฟที่เกิดจาด F2 สะท้อนเหมือนกันอยู่ในฝั่งตรงข้ามเสมอ

สมการไฮเพอร์โบลา

รูปแบบของสมการไฮเพอร์โบลาจะแบ่งออกตามรูปกราฟสมการสองแบบ คือไฮเพอร์โบลาแบบตะแคง (ซ้ายขวา) และไฮเพอร์โบลาแบบตั้ง (บนล่าง) โดยทั้งสองรูปแบบมีสมการดังนี้

ไฮเพอร์โบลาตะแคง	ไฮเพอร์โบลาตั้ง
สมการไฮเพอร์โบลาคือถ้าจุดศูนย์กลางของสมการ c อยู่ที่จุด (0,0) เราจะได้สมการไฮเพอร์โบลาที่จุดกำเนิดดังนี้ สังเกตว่าหน้า x เป็นบวก ดังนั้นแกนตามขวางจึงวางตัวในแนวแกน x (a อยู่กับ x)แกนตามขวาง (แกนที่ลากตัดกึ่งกลางของกราฟ) มีความยาวเป็น 2a แกนสังยุค มีความยาวเป็น 2b ระยะโฟกัส มีความยาว	สมการไฮเพอร์โบลาคือถ้าจุดศูนย์กลางของสมการ c อยู่ที่จุด (0,0) เราจะได้สมการไฮเพอร์โบลาที่จุดกำเนิดดังนี้ สังเกตว่าหน้า x เป็นบวก ดังนั้นแกนตามขวางจึงวางตัวในแนวแกน x (a อยู่กับ x)แกนตามขวาง (แกนที่ลากตัดกึ่งกลางของกราฟ) มีความยาวเป็น 2a แกนสังยุค มีความยาวเป็น 2b ระยะโฟกัส มีความยาว

ข้อสังเกตุ: a ไม่จำเป็นต้องยาวกว่า b เหมือนในสมการวงรี แต่ถ้า a=b จะได้สี่เหลี่ยมจัตุรัสอยู่ตรงกลาง จะเรียกว่าเป็น ไฮเพอร์โบลามุมฉาก (Rectangular Hyperbola)

โจทย์ไฮเพอร์โบลา

ตัวอย่างที่1: จงหาจุดศูนย์กลาง จุดโฟกัส จุดยอด ความยาวของแกนตามขวาง ความยาวแกนสังยุค ความยาวเส้นลาตัสเรกตัม ค่าเอ็คเซนตริกซิตี (e) และสมการเส้นกำกับของไฮเพอร์โบลาต่อไปนี้ พร้อมทั้งวาดกราฟ

วิธีทำ

ตัวเลขส่วนของสมการไฉเพอร์โบลาที่โจทย์ให้มาเป็นกำลังหนึ่ง แต่เราต้องการกำลังสองเพื่อเข้าสูตรไฮเพอร์โบลา จึงแปลงสมการนี้ให้อยู่ในรูปกำลังสองได้ดังนี้

ซึ่งเมื่อนำไปเทียบกับสมการมาตรฐานของไฮเพอร์โบลา

เราจะได้ค่า a=4, b=3

ใช้สูตรพีธากอรัสเพื่อหาค่า c ได้ดังนี้

c² = a² + b²

c² = 4² + 3²

c² = 25

c = 5

เมื่อเราได้ค่า a, b, และ c มาครบแล้ว จะสามารถเขียนรูปกราฟได้ดังนี้

จากรูปและสมบัติของไฮเพอร์โบลา จะได้

จุดศูนย์กลางคือ (0,0)

จุดโฟกัส คือ (±5,0)

จุดยอด คือ (±4,0)

ความยาวของแกนตามขวาง 2a = 8

ความยาวแกนสังยุค 2b = 3

ความยาวเส้นเลตัสเรกตัม

สมการเส้นกำกับ

ค่าเอ็คเซนตริกซิตี (e) = c/a = 5/4 = 1.25

#Answer

ข้ามไปยังเนื้อหา:

1. ภาคตัดกรวย (Conic Section)
2. วงกลม (Circle)
3. พาราโบลา (Parabola)
4. วงรี (Ellipse)
5. ไฮเพอร์โบลา (Hyperbola)

สำหรับ คนที่สนใจอยากเรียนคณิตศาสตร์เรื่องภาคตัดกรวย และบทอื่นๆ แต่ไม่อยากอ่านเอง อยากดูในรูปแบบคลิปวีดีโอมากกว่า พี่มีของดีมาแนะนำครับ คลิปวีดีโอสอนเรื่องภาคตัดกรวยครบทุกหัวข้อ และบทเรียนอื่นๆในระดับชั้นมัธยมอีกครบถ้วน สอนอย่างละเอียดตั้งแต่เริ่มต้น พร้อมด้วยโจทย์เรื่องภาคตัดกรวยเรียงจากง่ายไปยาก ลองอ่านข้อความด้านล่างนี้ดูนะครับ